По графику функции y ax2 bx c. Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику

23.09.2019
Редкие невестки могут похвастаться, что у них ровные и дружеские отношения со свекровью. Обычно случается с точностью до наоборот

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x


Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

Инструкция

Если графиком является прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью ОX угол α (угол наклона прямой к положительной полуоси ОХ). Функция, описывающая эту прямую, будет иметь вид y = kx. Коэффициент пропорциональности k равен tg α. Если прямая проходит через 2-ю и 4-ю координатные четверти, то k < 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k > 0 и функция возрастает.Пусть представляет собой прямую линию, располагающуюся различным образом относительно осей координат. Это линейная функция, и она имеет вид y = kx + b, где переменные x и y стоят в первой степени, а k и b могут принимать как положительные, так и отрицательные значения или равны нулю. Прямая параллельна прямой y = kx и отсекает на оси |b| единиц. Если прямая параллельна оси абсцисс, то k = 0, если оси ординат, то уравнение имеет вид x = const.

Кривая, состоящая из двух ветвей, располагающихся в разных четвертях и симметричных относительно начала координат, гиперболой. Этот график обратную зависимость переменной y от x и описывается уравнением y = k/x. Здесь k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. При этом если k > 0, функция убывает; если же k < 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Квадратичная функция имеет вид y = ax2 + bx + с, где a, b и c – величины постоянные и a  0. При выполнении условия b = с = 0, уравнение функции выглядит, как y = ax2 (простейший случай ), а ее график является параболой, проходящей через начало координат. График функции y = ax2 + bx + с имеет ту же форму, что и простейший случай функции, однако ее вершина (точка пересечения с осью OY) лежит не в начале координат.

Параболой является также график степенной функции, выраженной уравнением y = xⁿ, если n – любое четное число. Если n - любое нечетное число, график такой степенной функции будет иметь вид кубической параболы.
В случае, если n – любое , уравнение функции приобретает вид. Графиком функции при нечетном n будет гипербола, а при четном n их ветви будут симметричны относительно оси ОУ.

Еще в школьные годы подробно изучаются функции и строятся их графики. Но, к сожалению, читать график функции и находить ее тип по представленному чертежу практически не учат. В действительности это довольно просто, если помнить основные виды функций.

Инструкция

Если представленным графиком является , которая через начало координат и с осью ОX угол α (который является углом наклона прямой к положительной полуоси), то функция, описывающая такую прямую, будет представлена как y = kx. При этом коэффициент пропорциональности k равен тангенсу угла α.

Если заданная прямая проходит через вторую и четвертую координатные четверти, то k равен 0, и функция возрастает. Пусть представленный график является прямой линией, располагающейся любым образом относительно осей координат. Тогда функцией такого графика будет линейная, которая представлена видом y = kx + b, где переменные y и х стоят в первой , а b и k могут принимать как отрицательные, так и положительные значения или .

Если прямая параллельна прямой с графиком y = kx и отсекает на оси ординат b единиц, тогда уравнение имеет вид x = const, если график параллелен оси абсцисс, то k = 0.

Кривая линия, которая состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат и располагающихся в разных четвертях, гиперболой. Такой график показывает обратную зависимость переменной y от переменной x и описывается уравнением вида y = k/x, где k не должен быть равен нулю, так как является коэффициентом обратной пропорциональности. При этом, если значение k больше нуля, функция убывает; если же k меньше нуля – возрастает.

Если предложенным графиком является парабола, проходящая через начало координат, ее функция при выполнении условия, что b = с = 0, будет иметь вид y = ax2. Это самый простой случай квадратичной функции. График функции вида y = ax2 + bx + с будет иметь такой же вид, что и простейший случай, однако вершина (точка, где график пересекается с осью ординат) будет находиться не в начале координат. В квадратичной функции, представленной видом y = ax2 + bx + с, значения величин a, b и c – постоянные, при этом a не равно нулю.

Параболой также может являться график степенной функции, выраженной уравнением вида y = xⁿ, только если n является любым четным числом. Если же значение n - нечетное число, такой график степенной функции будет представлен кубической параболой. В случае, если переменная n является любым отрицательным числом, уравнение функции приобретает вид .

Видео по теме

Координата абсолютно любой точки на плоскости определяется двумя ее величинами: по оси абсцисс и оси ординат. Совокупность множества таких точек и представляет собой график функции. По нему вы видите, как меняется значение Y в зависимости от изменения значения Х. Также вы можете определить, на каком участке (промежутке) функция возрастает, а на каком убывает.

Инструкция

Что можно сказать о функции, если ее график представляет собой прямую линию? Посмотрите, проходит ли эта прямая через точку начала отсчета координат (то есть, ту, где величины Х и Y равны 0). Если проходит, то такая функция описывается уравнением y = kx. Легко понять, что чем больше будет значение k, тем ближе к оси ординат будет располагаться эта прямая. А сама ось Y фактически соответствует бесконечно большому значению k.


Квадратным трёхчленом называется многочлен 2-ой степени, то есть выражение вида ax 2 + bx + c , где a ≠ 0, b , c - (обычно заданные) действительные числа, называемые его коэффициентами, x - переменная величина.

Обратите внимание: коэффициент a может быть любым действительным числом, кроме нуля. Действительно, если a = 0, то ax 2 + bx + c = 0·x 2 + bx + c = 0 + bx + c = bx + c . В этом случае в выражении не остаётся квадрата, поэтому его нельзя считать квадратным трёхчленом. Однако, такие выражения-двучлены как, например, 3x 2 − 2x или x 2 + 5 можно рассматривать как квадратные трёхчлены, если дополнить их недостающими одночленами с нулевыми коэффициентами: 3x 2 − 2x = 3x 2 − 2x + 0 и x 2 + 5 = x 2 + 0x + 5.

Если стоит задача, определить значения переменной х , при которых квадратный трёхчлен принимает нулевые значения, т.е. ax 2 + bx + c = 0, то имеем квадратное уравнение.

Если существуют действительные корни x 1 и x 2 некоторого квадратного уравнения, то соответствующий трёхчлен можно разложить на линейные множители : ax 2 + bx + c = a (x x 1)(x x 2)

Замечание: Если квадратный трёхчлен рассматривать на множестве комплексных чисел С, которое, возможно, вы еще не изучали, то на линейные множители его можно разложить всегда.

Когда стоит другая задача, определить все значения, которые может принимать результат вычисления квадратного трёхчлена при различных значениях переменной х , т.е. определить y из выражения y = ax 2 + bx + c , то имеем дело с квадратичной функцией.

При этом корни квадратного уравнения являются нулями квадратичной функции .

Квадратный трёхчлен также можно представить в виде

Это представление удобно использовать при построении графика и изучении свойств квадратичной функции действительного переменного.

Квадратичной функцией называется функция, заданная формулой y = f (x ), где f (x ) - квадратный трёхчлен. Т.е. формулой вида

y = ax 2 + bx + c ,

Где a ≠ 0, b , c - любые действительные числа. Или преобразованной формулой вида

.

Графиком квадратичной функции является парабола, вершина которой находится в точке .

Обратите внимание: Здесь не написано, что график квадратичной функции назвали параболой. Здесь написано, что графиком функции является парабола. Это потому, что такую кривую математики открыли и назвали параболой раньше (от греч. παραβολή - сравнение, сопоставление, подобие), до этапа подробного изучения свойств и графика квадратичной функции.

Парабола - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельной одной из образующих этого конуса.

Парабола обладает еще одним интересным свойством, которое также используется как её определение.

Парабола представляет собой множество точек плоскости, расстояние от которых до определенной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до определенной прямой, называемой директрисой параболы.

Построить эскиз графика квадратичной функции можно по характерным точкам .
Например, для функции y = x 2 берем точки

x 0 1 2 3
y 0 1 4 9

Соединяя их от руки, строим правую половинку параболы. Левую получаем симметричным отраженим относительно оси ординат.

Для построения эскиза графика квадратичной функции общего вида в качестве характерных точек удобно брать координаты её вершины, нули функции (корни уравнения), если они есть, точку пересечения с осью ординат (при x = 0, y = c ) и симметричную ей относительно оси параболы точку (−b/ a ; c ).

x b/ 2a x 1 x 2 0 b/ a
y −(b 2 − 4ac )/4a 0 0 с с
при D ≥ 0

Но в любом случае по точкам можно построить только эскиз графика квадратичной функции, т.е. приблизительный график. Чтобы построить параболу точно, нужно использовать её свойства: фокус и директрису.
Вооружесь бумагой, линейкой, угольником, двумя кнопками и крепкой нитью. Прикрепите одну кнопку примерно в центре листа бумаги - в точке, которая будет фокусом параболы. Вторую кнопку прикрепите к вершине меньшего угла угольника. На основаниях кнопок закрепите нить так, чтобы её длина между кнопками равнялась большому катету угольника. Начертите прямую линию, непроходящую через фокус будущей параболы, - директрису параболы. Приложите линейку к директрисе, а угольник к линейке так, как показано на рисунке. Перемещайте угольник вдоль линейки, одновременно прижимая карандаш к бумаге и к угольнику. Следите за тем, чтобы нить была натянута.


Измерьте расстояние между фокусом и директрисой (напоминаю - расстояние между точкой и прямой определяется по перпендикуляру). Это фокальный параметр параболы p . В системе координат, представленной на правом рисунке, уравнение нашей параболы имеет вид: y = x 2 / 2p . В масштабе моего рисунка получился график функции y = 0,15x 2 .

Замечание: чтобы построить заданную параболу в заданном масштабе, делать нужно всё то же самое, но в другом порядке. Начинать нужно с осей координат. Затем начертить директрису и определить положение фокуса параболы. И только потом конструировать инструмент из угольника и линейки. Например, чтобы на клетчатой бумаге построить параболу, уравнение которой у = x 2 , нужно расположить фокус на расстоянии 0,5 клеточки от директрисы.

Свойства функции у = x 2

  1. Область определения функции - вся числовая прямая: D (f ) = R = (−∞; ∞).
  2. Область значений функции - положительная полупрямая: E (f ) =

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения коэффициента b - коэффициента при х .

    Положение и вид параболы в зависимости от знака и значения параметра c .

    Задачи на анализ графика квадратичной функции.

    Задания вида "Установить соответствие между коэффициентами квадратного трёхчлена и приведенными графиками квадратичной функции" встречаются в ОГЭ по математике в 9-ом классе, а также необходимы сдающим ЕГЭ за 11 класс в качестве промежуточного действия.

    Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.

    Методическая разработка Сагнаевой А.М.

    МБОУ СОШ№44 г. Сургут, ХМАО-Югра .


    Ι. Нахождение коэффициента а

    • по графику параболы определяем координаты вершины (m,n)

    2. по графику параболы определяем координаты любой точки А 1 1 )

    3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

    у=a(х-m)2+n

    4. решаем полученное уравнение.

    А(х 1 1 )

    парабола


    ΙΙ. Нахождение коэффициента b

    1. Сначала находим значение коэффициента a

    2. В формулу для абсциссы параболы m= -b/2a подставляем значения m и a

    3. Вычисляем значение коэффициента b .

    А(х 1 1 )

    парабола


    ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c

    1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу.

    2. Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты a,b

    (см. шаги Ι, ΙΙ)

    3. Подставляем найденные значения a, b ,А(х 1; у 1 ) в уравнение

    у=ax 2 +bx+c и находим с.

    А(х 1 1 )

    парабола



    Задачи


    подсказка


    Ιх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с Ответ: 5 с х 1 х 2 " width="640"
    • Ветви параболы направлены вниз,
    • Корни имеют разные знаки,Ι х 1 ΙΙх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a
    • Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с

    х 1

    х 2


    П Подсказка


    0 x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0. Ответ: 5 " width="640"

    1.Ветви параболы направлены вниз, значит а

    • x 1 +x 2 = - b/a 0. a 0.

    0 , т.к. ветви параболы направлены вверх; 2. с=у(0)3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу: при этом а 0, следовательно, b4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках. " width="640"

    На рисунке приведен график функции у=ax 2 +bx+c. Укажите знаки коэффициентов a,b,c и дискриминанта D.

    Решение:

    1. а0 , т.к. ветви параболы направлены вверх;

    3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу:

    при этом а 0, следовательно, b

    4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках.


    На рисунке изображена парабола

    Укажите значения k и t .


    Найдите координаты вершины параболы и напишите функцию, график которой изображен на рисунке.


    Найдите, где - абсциссы точек пересечения

    параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).

Последние материалы сайта