Разработка открытого урока

по алгебре в 8 классе

по теме: «Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители.»

Учитель математики КГУ СОШ №16 г.Караганды

Бекенова Г.М.

Караганда 2015

"Математику нельзя изучать наблюдая".

Ларри Нивен - профессор математики

Тема урока:

Квадратный трехчлен.

Разложение квадратного трехчлена на множители.

Цели урока:

1. Добиться от всех учащихся класса успешной отработки и применения знаний при разложении квадратного трехчлена на множители.

2. Способствовать: а) развитию самоконтроля и самообучения,

б) умению пользоваться интерактивной доской,

в) развитию математической грамотности, аккуратности.

3. Воспитывать умение грамотно, лаконично выражать свою мысль, толерантно относиться к точке зрения одноклассников, получать удовлетворение от достигнутых результатов.

Тип урока: комбинированный урок с дифференцированным и индивидуальным подходом, с элементами развивающего и опережающего обучения.

Место урока: третий урок по данной теме(основной), на первых двух ученики узнали определение квадратного трехчлена, научились находить его корни, познакомились с алгоритмом разложения квадратного трехчлена на множители, а это в дальнейшем поможет в решении уравнений, сокращении дробей, преобразовании алгебраических выражений.

Структура урока:

1 Актуализация знаний с дифференцированным подходом к учащимся.

2 Контроль- самопроверка ранее усвоенных знаний.

3 Изложение нового материала- частично поисковый метод.

4 Первичное закрепление изученного, индивидуально- дифференцированный подход.

5 Осмысление, обобщение знаний.

6 Постановка домашнего задания методом проблемного обучения.

Оборудование: интерактивная доска, обычная доска, карточки с заданиями, учебник «Алгебра 8», копировальная бумага и чистые листочки, символы физиогностики.

Ход урока

Организационный момент (1 минута).

1. Приветствие учащихся; проверка их готовности к уроку.

2. Сообщение цели урока.

І этап.

“Повторение - мать учения.”

1. Проверка домашнего задания. № 476 (б,г), №474, №475

2. Индивидуальная работа по карточкам (4 человека)(во время проверки домашнего задания)(5 минут)

ІІ этап.

"Доверяй, но проверяй"

Проверочная работа с самоконтролем.

Проверочная работа(через копировальную бумагу) с самопроверкой.

І вариантm ІІ вариан т

1) 2)

2. Разложить на множители квадратный трехчлен:

Ответы

к проверочной работе

"Доверяй, но проверяй."

1. Найти корни квадратного трехчлена:

І вариант ІІ вариа н т

2. Разложить квадратный трехчлен на множители:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X(X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Несколько ярких ответов отметить.

Вопрос учащимся:

Как вы думаете, где можно применить разложение квадратного трехчлена на множители?

Верно:при решении уравнений,

при сокращении дробей,

в преобразовании алгебраических выражений.

ІІІ этап

” Уменье и труд все перетрут ” (10 минут)

1. Рассмотрим применение разложения квадратного трехчлена на множители при сокращении дробей. Работа учащихся у доски.

Сократить дробь:

2. А теперь рассмотрим применение разложения квадратного трехчлена на множители в преобразованиях алгебраических выражений.

Учебник. Алгебра 8. стр. 126 № 570 (б)

А теперь покажите, как вы применяете разложение квадратного трехчлена на множители.

IV этап

"Куй железо, пока горячо!"

Самостоятельная работа (13 минут)

І вариант ІІ вариант

Сократить дробь:

5. Я понял что…….

6. Теперь я могу…….

7. Я почувствовал что…..

8. Я приобрёл….

9. Я научился…….

10.У меня получилось………

11.Я смог….

12. Я попробую……

13. Меня удивило…..

14. Урок дал мне для жизни….

15. Мне захотелось….

Информация о домашнем задании: на следующий урок принести домашнюю самостоятельную работу, которую получили неделю назад.

Домашняя самостоятельная работа.

І вариант І І вариант

№ 560 (а,в) № 560 (б,г)

№ 564 (а,в) № 564(б,г)

№ 566 (а) № 566 (б)

№ 569 (а) № 569 (б)

№ 571 (а,в) № 571 (б,г)

Урок окончен.

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax^2+bx+c, где х – переменная, a, b и с – некоторые числа, причем а не равно нулю.
Собственно, первое что нам нужно знать, чтобы разложить злополучный трехчлен на множители – теорема. Выглядит она следующим образом: “Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ax^2+bx+c, то ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”. Конечно, существует и доказательство этой теоремы, но оно требует некоторых теоретических знаний (при вынесении за скобки в многочлене ax^2+bx+c множителя а получаем ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). По теореме Виетта x1+x2=-(b/a), х1*х2=с/а, следовательно b/a=-(x1+x2), с/а=х1*х2. значит, x^2+ (b/a)x+c/a= x^2- (x1+x2)x+ x1x2=x^2-x1x-x2x+x1x2=x(x-x1)-x2(x-x1)= (x-x1)(x-x2). значит, ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) . Иногда учителя заставляют учить доказательство, но если оно не востребовано, советую просто запомнить итоговую формулу.

2 шаг

Возьмем как пример трехчлен 3x^2-24x+21. Первое, что нам нужно сделать – приравнять трехчлен к нулю: 3x^2-24x+21=0. Корни полученного квадратного уравнения и будут корнями трехчлена, соответственно.

3 шаг

Решим уравнение 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Итак, решаем. Кто не знает как решать квадратные уравнения, смотрите в мою инструкцию с 2-мя способами их решения на примере этого же уравнения. Получились корни х1=7, х2=1.

4 шаг

Теперь, когда у нас есть корни трехчлена, можно смело подставлять их в формулу =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
получаем:3x^2-24x+21=3(х-7)(х-1)
Можно избавиться от члена а, внеся его в скобки: 3x^2-24x+21=(х-7)(х*3-1*3)
в итоге получаем: 3x^2-24x+21=(х-7)(3х-3). Примечание: каждый из полученных множителей ((х-7), (3х-3) являются многочленами первой степени. Вот и все разложение =) Если сомневаетесь в полученном ответе, всегда можно его проверить, перемножив скобки.

5 шаг

Проверка решения. 3x^2-24x+21=3(х-7)(х-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Теперь мы точно знаем, что наше решение верно! Надеюсь, моя инструкция кому-нибудь поможет =) Удачи в учебе!

• В нашем случае в уравнении D >0 и мы получили по 2 корня. Если бы было D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.

Разложение квадратных трехчленов на множители относится к школьным заданиям, с которыми рано или поздно сталкивается каждый. Как его выполнить? Какова формула разложения квадратного трехчлена на множители? Разберемся пошагово с помощью примеров.

Общая формула

Разложение квадратных трехчленов на множители осуществляется решением квадратного уравнения. Это несложная задача, которую можно решить несколькими методами - нахождением дискриминанта, при помощи теоремы Виета, существует и графический способ решения. Первые два способа изучаются в средней школе.

Общая формула выглядит так: lx 2 +kx+n=l(x-x 1)(x-x 2) (1)

Алгоритм выполнения задания

Для того чтобы выполнить разложение квадратных трехчленов на множители, нужно знать теорему Вита, иметь под рукой программу для решения, уметь находить решение графически или искать корни уравнения второй степени через формулу дискриминанта. Если дан квадратный трехчлен и его надо разложить на множители, алгоритм действий такой:

1) Приравнять исходное выражение к нулю, чтобы получить уравнение.

2) Привести подобные слагаемые (если есть такая необходимость).

3) Найти корни любым известным способом. Графический метод лучше применять в случае, если заранее известно, что корни - целые и небольшие числа. Нужно помнить, что количество корней равно максимальной степени уравнения, то есть у квадратного уравнения корней два.

4) Подставить значение х в выражение (1).

5) Записать разложение квадратных трехчленов на множители.

Примеры

Окончательно понять, как выполняется это задание, позволяет практика. Иллюстрируют разложение на множители квадратного трехчлена примеры:

необходимо разложить выражение:

Прибегнем к нашему алгоритму:

1) х 2 -17х+32=0

2) подобные слагаемые сведены

3) по формуле Виета найти корни для этого примера сложно, потому лучше воспользоваться выражением для дискриминанта:

D=289-128=161=(12,69) 2

4) Подставим найденные нами корни в основную формулу для разложения:

(х-2,155) * (х-14,845)

5) Тогда ответ будет таким:

х 2 -17х+32=(х-2,155)(х-14,845)

Проверим, соответствуют ли найденные дискриминантом решения формулам Виета:

14,845 . 2,155=32

Для данных корней применяется теорема Виета, они были найдены правильно, а значит полученное нами разложение на множители тоже правильно.

Аналогично разложим 12х 2 +7х-6.

x 1 =-7+(337) 1/2

x 2 =-7-(337) 1/2

В предыдущем случае решения были нецелыми, но действительными числами, найти которые легко, имея перед собой калькулятор. Теперь рассмотрим более сложный пример, в котором корни будут комплексными: разложить на множители х 2 +4х+9. По формуле Виета корни найти не получится, и дискриминант отрицательный. Корни будут на комплексной плоскости.

D=-20

Исходя из этого, получаем нтересующие нас корни -4+2i*5 1/2 и -4-2i * 5 1/2 , поскольку (-20) 1/2 =2i*5 1/2 .

Получаем искомое разложение, подставив корни в общую формулу.

Еще один пример: нужно разложить на множители выражение 23х 2 -14х+7.

Имеем уравнение 23х 2 -14х+7 =0

D=-448

Значит, корни 14+21,166i и 14-21,166i. Ответ будет такой:

23х 2 -14х+7 =23(х-14-21,166i )*(х-14+21,166i ).

Приведем пример, решить который можно без помощи дискриминанта.

Пусть нужно разложить квадратное уравнение х 2 -32х+255. Очевидно, его можно решить и дискриминантом, однако быстрее в данном случае подобрать корни.

x 1 =15

x 2 =17

Значит х 2 -32х+255 =(х-15)(х-17).

Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

• линейный двучлен (6x+8);
• кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

Если D положительный:

Если D равен нулю:

Онлайн калькуляторы

В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители

Примеры

Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.

Пример 1

Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.

Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.

Пример 2

Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.

Подставляем получившееся значение:

Пример 3

Дано: 5x²+3x+7

Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.

Альтернативный способ решения

Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.

Дано: x²+3x-10

Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.

К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.

Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).

Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.

Разложение сложного трехчлена

Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.

Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.

Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:

3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)

Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:

Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.

Число 3 дают числа:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).

Другие случаи

Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

Полезное видео: разложение трехчлена на множители

Вывод

Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.